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Description01-Dreizehneck-Näherung-Variante.svg	Deutsch: Dreizehneck, Variante der Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode English: Tridecagon, variant of an approximation construction with an universal method
Date	17 October 2017
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Konstruktion edit

Zuerst wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, später der Durchmesser des gesuchten Dreizehnecks, in ${\displaystyle 13}$ gleichlange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von ${\displaystyle 13}$ gleichlangen Abständen bestimmt. Nun werden die geraden Zahlen (Teilungspunkte) ${\displaystyle 4,6}$ und ${\displaystyle 8}$ auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ markiert. Die anschließende Halbierung von ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ erzeugt den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$. Nach dem Einzeichnen des Kreises um ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle A}$ wird die zweite Mittelachse des Kreises senkrecht zur Mittelachse ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ eingezeichnet, dabei ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle E_{1}}$. Dabei ist ${\displaystyle E_{1}}$ der erste Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks. Der darauffolgende Kreisbogen um ${\displaystyle A}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ schneidet die Mittelachse ${\displaystyle {\overline {CE_{1}}}}$ in ${\displaystyle D}$.

Es geht weiter mit dem Festlegen der Hilfpunkte ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt ${\displaystyle D}$ und an die gerade Zahl ${\displaystyle 4}$ gelegt. Danach am Lineal entlang eine Linie bis zur gegenüberliegenden Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Punkt ${\displaystyle F.}$ Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Punkte ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H.}$ Im Anschluss folgt die Konstruktion des arithmetischen Mittels der Strecken ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ und ${\displaystyle {\overline {GH}}}$. Beide Strecken werden aneinanderstoßend auf die Mittelachse ${\displaystyle {\overline {CE_{1}}}}$ übertragen, sodass die Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{1}I}}}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ entspricht und die Strecke ${\displaystyle {\overline {IJ}}}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {GH}}}$. Nun wird die soeben zusammengesetzte Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{1}J}}}$ auf die Mittelachse ${\displaystyle {\overline {CE_{1}}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle C}$ abgetragen, dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle K.}$ Im nächsten Schritt wird Strecke ${\displaystyle {\overline {CK}}}$ in ${\displaystyle M}$ halbiert.

Das arithmetische Mittel der Strecken ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ und ${\displaystyle {\overline {GH}}}$ ist somit als Strecke ${\displaystyle {\overline {KM}}}$ gefunden und zugleich auch eine Näherung der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des Dreizehnecks. Wird abschließend ${\displaystyle a}$ dreizehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abgetragen, ist das angenäherte regelmäßige Dreizehneck ${\displaystyle E_{1}\ldots E_{13}}$ fertiggestellt.

Ergebnis edit

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE] edit

• Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks ${\displaystyle a=0{,}478639794785732\ldots \;[LE]}$
• Seitenlänge des Dreizehnecks ${\displaystyle a_{Soll}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0{,}478631328575116\ldots \;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge ${\displaystyle F_{a}=a-a_{Soll}=0{,}00000846\ldots \;[LE]}$
• Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks ${\displaystyle \mu =27{,}692807288049416\ldots ^{\circ }}$
• Zentriwinkel des Dreizehnecks ${\displaystyle \mu _{Soll}={\frac {360^{\circ }}{13}}=27{,}{\overline {692307}}\ldots ^{\circ }}$
• Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{Soll}=0{,}000499595741726\ldots ^{\circ }}$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen edit

Bei einem Umkreisradius R = 1 km wäre der absolute Fehler der ersten Seite ca. 8,5 mm.

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