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Description01-Quadratur des Kreises.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion mit Darstellung des halben Kreisumfanges ${\displaystyle {\color {Blue}Hinweis:\;Prinzipiell\;sind\;die\;Abweichungen,\;bezogen\;auf\;den\;Ansatz,\;bis\;zur\;17.\;Nachkommastelle=0\;[LE\;bzw.\;VE]}}$ English: Squaring the circle, approximate construction with depiction of the half circle circumference ${\displaystyle {\color {Blue}Note:\;In\;principle,\;the\;deviations,\;based\;on\;the\;approach\;up\;to\;17\;decimal\;places=0}}$
Date	8 February 2015
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Quadratur des Kreises edit

• Einleitung und Erklärungen zu "Geschichte", "Popularität der Kreisquadratur", div. "Näherunngskonstruktionen" u. a. m. sind im Artikel Quadratur des Kreises enthalten.

Hilfsmittel edit

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einem Strahl

Konstruktionsprinzip edit

• Näherungskonstruktion mit Darstellung des halben Kreisumfangs
• Die Hauptelemente sind ein horizontaler Zahlenstrahl s₁, zwei vertikale Teilerstrahlen s₂ und s₄, ein horizontaler Scheitelstrahl s₃, zwei Diagonalstrahlen s₅ und s₆ und zwei Hilfsstrahlen s₇ und s₈.
• Von dem vorgegebenen Nenner und Zähler werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$ bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$ verkleinert und auf einem vertikalen Teilerstrahl s₂ oder s₄ geometrisch addiert bzw. subtrahiert.
• Zuerst wird die Strecke EF, 1E+17, Nenner des Teilerstrahls s₄ zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert und der sich dabei ergebende Schnittpunkt, T, Nenner, mit dem Punkt U des Zahlenstrahls s₁ (Wert = 1) verbunden, dabei ergibt sich die Verbindungsstrecke T, NennerU.

Der konstruierte Zähler wird ebenfalls zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt V, Zähler.

Die abschließende Parallele zur Verbindungstrecke T, NennerU erzeugt den Schnittpunkt W auf dem Zahlenstrahl s₁. Somit entspricht die Länge der Stecke AW exakt dem Wert des vorgegebenen Bruches.

• Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$ bzw. an ${\displaystyle \mathbf {\sqrt {\pi }} }$ hat. Die Anwendung der Strahlensätze in kompakter Form.
• Es sind sämtliche Brüche z. B. ${\displaystyle {\frac {355}{113}};\;{\frac {3.141.592}{1.000.000}};\;{\frac {245.850.922}{78.256.779}};\;{\frac {177.245}{100.000}}}$ mit einer beliebigen Näherung an ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$ bzw. an ${\displaystyle \mathbf {\sqrt {\pi }} }$ einsetzbar.

Konstruktion edit

• Als Basiskonstruktion ist das oben aufgeführte Hilfsmittel Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einem Strahl eingearbeitet.

Beachte: Da im Laufe der Konstruktion ein Schnittpunkt sehr nahe beim Teilungspunkt 6 auf dem Teilerstrahl s₂ und ein Schnittpunkt sehr nahe beim Teilungspunkt 8 auf dem Teilerstrahl s₄ liegen wird, dürfen diese beiden Teilungspunkte nicht im Schema eingezeichnet sein!

• Wähle z. B. einen Dezimalbruch der die gewünschte Näherung an ${\displaystyle \mathbf {\sqrt {\pi }} }$ hat. Die Qualität der Näherung ist einfach voraussehbar, wenn ein Dezimalbruch (Anzahl der Nullen im Nenner) eingesetzt wird.
• Im dargestellten Beispiel ist der Dezimalbruch ${\displaystyle {\frac {177.245.385.090.551.602}{1E+17}}}$ gewählt.
• Siebzehn Nachkommastellen sind gleich dem Wert ${\displaystyle \mathbf {\sqrt {\pi }} }$.

Radius des Kreises und Nenner edit

1. Bestimme den Radius r des Kreises mittels der beliebigen Strecke AU. Um die prinzipielle Genauigkeit des Konstruktionsprinzips (mithilfe GeoGebra) zu verdeutlichen, ist in der folgenden Darstellung der Radius r = 1 gewählt.
2. Konstruiere den Mittelpunkt M_K so, dass der anschließend eingezeichnete Kreis mit dem Radius r gleich der Strecke M_KU, den Teilerstrahl s₂ und den Zahlenstrahl s₁ berührt.
3. Verbinde den Punkt T, Nenner mit dem Punkt U, somit ist der Nenner konstruiert.

Zähler edit

Beachte: Nach der Einerstelle 2 ist die nächste Stelle des Zählers eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 2 vom Teilerstrahl s₄, vor der geometrischen Addition mit der übernächsten Dezimalstelle 6, mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$ verkleinert sein! In diesem Fall ist die erste Verkleinerung mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$ stets auf einem Teilerstrahl durchzuführen, da die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden können!

4. Verbinde den zweiten Punkt des Teilerstrahls s₄ (Zahl 2, Einerstelle des Zählers vom Dezimalbruch) mit dem Scheitelpunkt H, es ergibt sich der Schnittpunkt 2 auf dem Teilerstrahl s₂. Der Wert der Zahl 2 vom Teilerstrahl s₄ ist dadurch mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$ verkleinert.

Beachte: Würde nun der Wert der Zahl 2 vom Teilerstrahl s₂ auf den Teilerstrahl s₄ projiziert werden, um dadurch die erforderliche Verkleinerung mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$ zu erreichen, wäre der sich ergebende Punkt 02 auf s₄ sehr nahe an dem Punkt E. Es ist deshalb vorteilhaft den Wert 02 über einen Ausweichpunkt (AP) 2, AP zu bestimmen.

5. Greife die Strecke B2 ab und subtrahiere sie z. B. vom neunten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Ausweichpunkt 2, AP.
6. Konstruiere eine Parallele zum Teilerstrahls s₄ ab dem Scheitelpunkt I bis ca. auf die Höhe vom achten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄.
7. Konstruiere eine Parallele zum Scheitelstrahl s₃ ab dem siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich der Schnittpunkt R₁.
8. Konstruiere eine Parallele zum Scheitelstrahl s₃ ab dem sechsten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich der Schnittpunkt S₁.
9. Spiegle den Punkt S₁ an die Strecke (7)R₁, es ergibt sich als Schnittpunkt der Ausweichscheitelpunkt S₂.
10. Verbinde den Schnittpunkt 2, AP des Teilerstrahls s₂ mit dem Ausweichscheitelpunkt S₂, es ergibt sich der Ausweichpunkt 02, AP auf dem Teilerstrahl s₄. Der Wert der Zahl 2, AP vom Teilerstrahl s₄ ist nun mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$ verkleinert.
11. Greife die Strecke (9)02 des Teilerstrahls s₄ ab und subtrahiere sie vom siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Schnittpunkt 602.
12. Verbinde den Schnittpunkt 602 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt P, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 602. Es könnte alternativ mit den Scheitelpunkten O oder I verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s₃ haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen (s₂, s₄) und Hilfsstrahlen (s₇, s₈) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
13. Greife die Strecke K602 des Hilfsstrahls s₈ ab und addiere sie zum ersten Teilungspunkt F des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich der Schnittpunkt 1.602. Es ist bezüglich Übersicht im Folgenden vorteilhaft: Die Zifferngruppierung (Punkt oder Abstand) zu verwenden und ggf. lange Zahlen mittig mit "..." abzukürzen.
14. Verbinde den Schnittpunkt 1.602 des Zahlenstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt N, es ergibt sich der Schnittpunkt 1.602 auf dem Hilfsstrahl s₇.
15. Greife die Strecke J1.602 ab und addiere sie zum fünften Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Schnittpunkt 51.602.
16. Setze diese Vorgehensweise fort bis der Zähler mit dem Schnittpunkt 177.245.385.090.551.602 auf dem Teilerstrahl s₄ konstruiert ist.

Beachte: Die Zahlen 551.602 sowie 90.551.602 sind jeweils mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$ zu verkleinern, d. h. beide Zahlen ein weiteres Mal auf einen Hilfsstrahl oder Teilerstrahl projizieren.

17. Greife die Strecke E177.245.385.090.551.602 ab und addiere sie zum zweiten Teilungspunkt A des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Punkt V, Zähler.
18. Zeichne eine Parallele zur Strecke T,NennerU ab dem Punkt V, Zähler bis zum Zahlenstrahl s₁, es ergibt sich der Schnittpunkt W. Die Strecke AW ist die gesuchte Seite des Quadrates.
19. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AW bis zur vertikalen Mittellinie des Kreises, es ergibt sich der Schnittpunkt H₄.
20. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt H₄, die Strecke AH₄ entspricht der Seite S_QK des gesuchten Quadrates.
21. Halbiere die Strecke AH₄, es ergibt sich der Schnittpunkt M₂.
22. Zeichne einen Kreis um den Punkt M_K mit dem Radius AM₂.
23. Konstruiere mithilfe der Strecke AW um den Mittelpunkt M_K und mittels des Hilfskreises mit dem Radius AM₂ das gesuchte Quadrat.
24. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AH₄ ab dem Punkt H₄ bis zum Zahlenstrahl s₁, es ergibt sich der Schnittpunkt I₄.
25. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt I₄.

• Somit ergibt sich:

a) Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der vom gegebenen Kreis.

b) Eine Strecke AI₄ mit einer Länge, die nahezu gleich dem halben Umfang des Kreises ist.

Berechnung edit

• Allgemein: Seite des Quadrates S_Q = r • ${\displaystyle \mathbf {\sqrt {\pi }} }$
• Die Berechnung der konstruierten Seite des Quadrates S_QK geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen bzw. Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnisse auf den Teilerstrahlen s₂ bzw. s₄.
• Der vorgegebene Dezimalbruch ${\displaystyle {\frac {177.245.385.090.551.602}{1E+17}}}$ wird auf dem Teilerstrahl s₄ und s₂ prinzipiell exakt dargestellt.

Absoluter Fehler der Seitenlänge des Quadrates F_SQK edit

${\displaystyle F_{S_{QK}}=S_{QK}-{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle S_{QK}\;=\;\;\;\;1{,}77245385090551602}$

${\displaystyle -{\sqrt {\pi }}=\;-1{,}77245385090551602729...}$

${\displaystyle =-0{,}00000000000000000729...}$

${\displaystyle F_{S_{QK}}\;\approx \;-0{,}73E-17}$ [LE]

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen edit

• Bei einem Kreis mit Radius r = 100 Milliarden km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 91 Stunden) wäre der absolute Fehler der Seitenlänge des Quadrates S_QK ≈ -0,73 mm.
• Bei einem Kreis mit Radius r = 100 km wäre der Fehler der Fläche Quadrates ≈ -0,26 mm².

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