Viele Aussagen über das regelmäßige Fünfeck bzw. regelmäßige Zehneck gelten auch für das Zwanzigeck. Der Goldene Schnitt φ = {\displaystyle \varphi =} 1 2 ( 5 + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)} und die Zahl 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} spielen eine wichtige Rolle.
Anm.: die externen Links führen meist zu Wolfram Alpha mit der Eingabe der entsprechenden Formel.
Die n {\displaystyle n} Eckpunkte eines regelmäßigen N-Ecks mit Umkreisradius R {\displaystyle R} ergeben sich bekanntlich als
Zunächst definiere ich φ = {\displaystyle \varphi =} 1 2 ( 5 + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)} und Ξ = 1 − φ 2 4 = 5 8 − 5 8 {\displaystyle \Xi ={\sqrt {1-{\frac {\varphi ^{2}}{4}}}}={\sqrt {{\frac {5}{8}}-{\frac {\sqrt {5}}{8}}}}}
<path d="m754,0 L717.1,233 610,443.19 443.19,610 233,717.1 0,754 -233,717.1 -443.19,610 -610,443.19 -717.1,233 -754,0 -717.1,-233 -610,-443.19 -443.19,-610 -233,-717.1 0,-754 233,-717.1 443.19,-610 610,-443.19 717.1,-233 z" />
aus der deutschsprachigen Wikipedia
cos δ = − 1 4 ( 1 + 5 ) ≈ − 0,809 0170 {\displaystyle \cos \delta =-{\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx -0{,}8090170}
Tabelle • Tabellenseite bearbeiten
8 5 ⋄ 13 8 ⋄ 21 13 ⋄ 34 21 ⋄ … {\displaystyle {\frac {8}{5}}\diamond {\frac {13}{8}}\diamond {\frac {21}{13}}\diamond {\frac {34}{21}}\diamond \ldots }
= 5 8 − 5 8 {\displaystyle ={\sqrt {{\frac {5}{8}}-{\frac {\sqrt {5}}{8}}}}} = 1 2 1 2 ( 5 − 5 ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}(5-{\sqrt {5}})}}}
= 5 8 + 5 8 {\displaystyle ={\sqrt {{\frac {5}{8}}+{\frac {\sqrt {5}}{8}}}}} = 1 2 1 2 ( 5 + 5 ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}(5+{\sqrt {5}})}}}
= 3 − 1 2 2 {\displaystyle ={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}}
= 3 + 1 2 2 {\displaystyle ={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}}
![{\displaystyle [1;{\overline {1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac024141b9e8be9b9d0943502a5bbc407e75e5f)
![{\displaystyle [0;{\overline {1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066281b1a3f6cb66aa323533a0b9ec33e9603ae2)
![{\displaystyle [0;3,{\overline {4}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767338ec80c07c210f7f9bd2e43a988dc0bfc24f)
![{\displaystyle [0;1,1,2,2,1,6,1,56,\ldots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b48b8c6ad77ac99802f80d06278bd24dd8d71c)
![{\displaystyle [0;1,{\overline {4}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3387e9efec61529a069b594b7a9823534834a141)
![{\displaystyle [0;1,19,2,3,6,5,1,1,1,\ldots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e979cf2648d524a918088c7cd3dc760136d271a)
![{\displaystyle [0;3,1,6,2,1,30,5,2,9,3,1,\ldots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19ab1b8cc16f56d32cc1a0aa8010f9b68a25202)
![{\displaystyle [0;1,28,2,1,7,21,1,8,1,\ldots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b757105451911fb85362c82705d7a4d095b8d0)
![{\displaystyle [0;1,{\overline {2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61945171cfbc46bc1873d55b0276f722eddc2088)
![{\displaystyle [0;1,{\overline {6,2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c9641ab1aa0a1948a96a087c0ce4c77a9572b1)
![{\displaystyle [1;{\overline {2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076639b7e958148e44b2dfe0bea22fca5b382c6f)
![{\displaystyle [1;{\overline {1,2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118ba741c0676d2c89508d125b151ab4d17b94eb)
![{\displaystyle [2;{\overline {4}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574efb17309ec89c6733471fb7482deef730fafc)
![{\displaystyle [0;{\overline {1,1,4,3}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafb15cef0f28ed460132373defdd461edc86874)
Pentagon, regelmäßiges Fünfeck
Decagon, regelmäßiges Zehneck
Icosagon, regelmäßiges Zwanzigeck
