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Description01 Goldene Schnittzahl.svg	Deutsch: Goldene Schnittzahl ${\displaystyle \Phi }$, Lösung als Konstruktion mit Zirkel und Lineal English: Golden ratio number ${\displaystyle \Phi }$, solution as a straightedge and compass construction
Date	15 January 2024
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Goldene Schnittzahl ${\displaystyle \Phi }$ edit

Die stetige Teilung einer Strecke (genannt Goldener Schnitt) bezeichnet die Teilung einer Strecke in der sich das größere Teil (x) zum kleineren Teil (1) so verhält wie die gesamte Länge der Strecke (1+x) zum größeren Teil (x). Mathematisch ausgedrückt ${\displaystyle x:1=(1+x):x}$. Dies ergibt die quadratische Gleichung:

${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$, Siehe [1]

Bezogen auf die Normalform ${\displaystyle x^{2}-px-q=0}$ ist darin ${\displaystyle p=1}$ und ${\displaystyle q=1}$.

Konstruktion edit

• Auflösung einer quadratischen Gleichung durch bloßes Ziehen von geraden Linien bei Benutzung eines gezeichneten Kreises. Prinzip Beispiel siehe [2]

In einem kartesischen Koordinatensystem wird zuerst der Kreis ${\displaystyle k}$ mit Radius gleich ${\displaystyle 1}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle M(0|1)}$ eingezeichnet und anschließend die zueinander parallelen Tangenten an den Punkten ${\displaystyle A(0|2)}$ und ${\displaystyle B(0|0)}$ eingetragen. Nun sind auf den entsprechenden Tangenten die Punkte ${\displaystyle C(4|2)}$ und ${\displaystyle D(-1|0)}$ zu bestimmen. Eine Verbindung des Punktes ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle D}$ erzeugt auf dem Kreisbogen ${\displaystyle k}$ die Schnittpunkte ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$. Die abschließenden beiden geraden Linien ab Punkt ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ liefern auf der ${\displaystyle x}$-Achse die Punkte ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$. Die Längen ${\displaystyle |{\overline {BX_{1}}}|=-x_{1}}$ und ${\displaystyle |{\overline {BX_{2}}}|=x_{2}}$ entsprechen den beiden Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$.

• Für die goldene Schnittzahl ist nur der positive Wert relevant: ${\displaystyle |{\overline {BX_{2}}}|=x_{2}=\Phi }$.

Einzelnachweise edit

[1] Henning & Hartfeld: 3 Die Goldene Schnittzahl ${\displaystyle \tau }$

[2] August Adler, §32. Graphische Auflösung der Gleichungen zweiten Grades., S. 175–176, Fig. 137.

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