Français : J’ai inventé le gnomon de triangle rectangle isocèle, mais les gnomons de triangles d’or existaient déjà, qui illustrent des preuves que 2.cos(36°) est irrationnel. J’ai exposé preuves et dessins dans “Certaines racines échappent à toute raison” et “Souci d’exactitude” du Bulletin Vert de l’APMEP :
numéros 391 et 401 de décembre 1993 et décembre 1995 du Bulletin Vert (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public, 26 rue Duméril 75013 PARIS, France).
Voici des références.

1995 Bulletin de l'APMEP. Num. 401. p. 873-884. Souci d'exactitude.
1993 Bulletin de l'APMEP. Num. 391. p. 551-560. Certaines racines échappent à toute raison.

Un gnomon de triangle rectangle isocèle est une forme associée à un tel triangle. On obtient un nouveau triangle rectangle isocèle plus petit ou plus grand que le triangle initial, en enlevant ou en ajoutant un gnomon au triangle. En ajoutant un gnomon, on obtient la reproduction du triangle à l’échelle 1 + √2. En enlevant un gnomon, on transforme encore le triangle en un triangle semblable, mais dans le rapport -1 + √2, ou 1/(1 + √2). Ce dessin montre deux soustractions ou deux ajouts successifs de gnomons.

Il n’y a pas de preuve géométrique que √2 est irrationnel, le dessin est seulement une illustration d’une preuve qu’il est impossible de représenter √2 par une fraction. Le dessin des gnomons est aussi un bon moyen pour retrouver la suite des meilleures fractions qui approchent √2.

Supposons qu’il existe deux entiers positifs a et b tels que a/b = √2. Alors a²/b² = 2, and a/b = 2b/a = (2b-a)/(a-b). Et (2b-a)/(a-b) est une fraction égale à √2, meilleure que a/b parce que l’entier positif a-b est inférieur à b. En itérant le procédé, on obtient une suite infinie strictement décroissante de dénominateurs, qui sont des entiers positifs. Une telle suite infinie n’existe pas. Alors √2 est irrationel.

Quelle que soit l’unité de longueur, les trois côtés d’un triangle rectangle isocèle ne mesurent pas l’unité, parce que 1 est entier. Mais 1/1 est une première valeur approximative de √2. Supposons que 1 est la longueur des trois côtés d’un triangle rectangle isocèle. En ajoutant un gnomon au triangle, on en obtient un autre dont les côtés mesurent 2 et 3. En ajoutant encore un gnomon, les longueurs sont 5 et 7. Et ainsi de suite.

Maintenant oublions les gnomons pour examiner cette suite : 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, et ainsi de suite en calculant à chaque fois l’entier (a + 2.b), quand a et b sont les deux nombres précédents. On obtient les meilleures fractions qui approchent -1 + √2 en écrivant le quotient de deux termes successifs : 1/2, 2/5, 5/12, et ainsi de suite, parce que 2 +(-1 + √2) est l’inverse de (-1 + √2).