Il gruppo S₃ con ${\displaystyle 6}$ elementi (cardinalità ${\displaystyle |S_{3}|\,=3!=6}$). Ha 3 sottogruppi normali: quello banale formato dalla sola identità, l'intero gruppo S₃ ed A₃ che si identifica con le 3 rotazioni di 120° nel piano e comprende l'identità (gruppo ciclico ${\displaystyle C_{3}}$). I tipi di cicli sono: (1)(2)(3)=e, (a b), (a b c). L'azione di gruppo sull'insieme dei vertici X = {1,2,3} viene detta simmetria e preserva la seguente struttura geometrica:

Triangolo euilatero

è isomorfo al gruppo diedrale di ordine 6 (${\displaystyle D_{3}}$), cioè il gruppo delle riflessioni e delle rotazioni simmetriche di un triangolo equilatero, dato che queste simmetrie permutano i 3 vertici del triangolo. I 2-cicli corrispondono alle riflessioni mentre i cicli di lunghezza 3 alle rotazioni. Tale isomorfismo manda A₃ nel gruppo delle rotazioni del triangolo: dato che hanno 3 elementi, entrambi sono isomorfi al gruppo ciclico di 3 elementi.

${\displaystyle D_{3}}$	${\displaystyle S_{3}}$	rotazione/riflessione
${\displaystyle C_{3}^{3}=id}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}=(1)(2)(3)}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \cdot 3}$ (identità)
${\displaystyle {C_{3}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}=(1\ 2\ 3)=(2\ 3\ 1)=(3\ 1\ 2)}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \cdot 1}$
${\displaystyle C_{3}^{2}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}=(1\ 3\ 2)=(3\ 2\ 1)=(2\ 1\ 3)}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \cdot 2}$
${\displaystyle {\sigma }^{'''}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}=(2\ 3)=(1)(2\ 3)=(1)(3\ 2)}$	asse lato 23
${\displaystyle {\sigma }^{''}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}=(1\ 3)=(2)(1\ 3)=(2)(3\ 1)}$	asse lato 13
${\displaystyle {\sigma }^{'}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}=(1\ 2)=(3)(1\ 2)=(3)(2\ 1)}$	asse lato 12

I generatori del gruppo sono i due elementi ${\displaystyle (1\ 2\ 3),(1\ 2)\in S_{3}}$ e si denota con la scrittura ${\displaystyle D_{3}=<x,y>=<(1\ 2\ 3),(1\ 2)>}$.