User:Lilyuserin/SVG/Gleichseitiges Dreieck

Allgemeines

Das gleichseitige Dreieck besteht aus drei gleich langen Seiten, die jeweils einen Winkel von 60^o miteinander einschließen.

Links

Längen

{\text{Seitenlänge }}a=b=c

{\text{Winkel }}\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }={\frac {\pi }{3}}

{\text{Höhe }}h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a=\sin {\frac {\pi }{3}}

{\text{Umkreisradius }}R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a

{\text{Inkreisradius }}r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a={\frac {R}{2}}

\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}

Punkte des gleichseitigen Dreiecks

Die Grundlinie ${\overline {AB}}$ liegt auf der x-Achse, die Spitze C auf der y-Achse, das Dreieck liegt symmetrisch bezüglich der y-Achse.

A=(-{\frac {a}{2}},0),B=({\frac {a}{2}},0),C=(0,a{\frac {\sqrt {3}}{2}})

Seitenhalbierende

A'={\frac {B+C}{2}}=({\frac {a}{4}},a{\frac {\sqrt {3}}{4}})

B'={\frac {A+C}{2}}=(-{\frac {a}{4}},a{\frac {\sqrt {3}}{4}})

C'={\frac {A+B}{2}}=(0,0)

Mittelpunkt

= Höhenschnittpunkt = Schwerpunkt = Inkreismittelpunkt etc.

M={\frac {1}{3}}(A+B+C)=(0,r)=(0,{\frac {R}{2}})=(0,a{\frac {\sqrt {3}}{6}})

Schnittpunkte des Umkreises mit den Seitensymmetralen

A''=({\frac {a}{2}},R)=({\frac {a}{2}},a{\frac {\sqrt {3}}{3}})

B''=(-{\frac {a}{2}},R)=(-{\frac {a}{2}},a{\frac {\sqrt {3}}{3}})

C''=(-{\frac {a}{2}},{\frac {R}{2}})=(-{\frac {a}{2}},r)=(0,a{\frac {\sqrt {3}}{6}})

Näherungen mit ganzzahligen Seitenzahlen

Entwickelt man ${\text{Wurzel 3 }}={\sqrt {3}}\approx 1.7320508075688772935274463415059$ als Kettenbruch, so erhält man als rationale Näherung ${\frac {1351}{780}}\approx 1.73205128205128$ . Das legt nahe, als Seitenlänge $780*2=1560$ zu wählen, woraus sich näherungsweise ergibt:

{\text{Seitenlänge }}a=1560

{\text{Höhe }}h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\approx 1351

{\text{Umkreisradius }}R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a\approx 900.66

{\text{Inkreisradius }}r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a\approx 450.33

A=(-780,0),B=(780,0),C=(0,1351)

A'=(390,675.5),B'=(390,675.5),C'=(0,0)

A''=(780,900.66),B''=(-780,900.66)),C''=(0,450.33)

M=(0,450.33)

Noch schönere Zahlen erhält man, wenn man alle Werte mit $6$ multipliziert, was den Nachteil größerer Zahlenwerte mit sich bringt.

SVG Code der Abbildung

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